平方数の積を平方数の和で表す

【平方数とは(定義)】
 ある正の整数の2乗の形で表される数

【平方数の性質】
・4で割って1余る素数は,必ず2つの平方数の和で1通りに表される。
・4で割って1余る素数の積は,必ず2つの平方数の和で2通りに表される。

・たとえば
 4で割って1余る2つの素数である5と13は

とそれぞれ2つの平方数の和で一通りに表され,この2数の積は

と2つの平方数の和で2通りに表される。

これをふまえて・・・

問題

2017と29は,どちらも4で割って1余る素数で,それぞれ,

と,2つの平方数の和で表される。

この2数の積2017×29を,下の等式を利用して,2つの平方数の和で2通り表せ。

解答

ここで,公式を使い代入すると,

これが一つ目。cとdを入れ替えて,もう一つを計算する。

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