正の整数の証明問題

3 で割ると 1 余る正の整数がある。この数の 2 乗からこの数自身をひいた差は 3 の倍数であることを証明せよ。

正の整数を n とおく。a は整数とする。
題意より，
　　n ÷ 3 ＝ a 余り 1　→　a × 3 + 1 ＝ n
∴　n – 1 ＝ 3a

n の 2 乗から n を引いた差は，
　　n ( n – 1 ) ＝ n × 3a
a，nは整数なので，3の倍数であるといえる。//

～スマートに書くなら～

3で割ると1余る正の整数は，3n+1 と表される。
この数の 2 乗からこの数自身をひいた差は

　(3n+1)^2-(3n+1)
＝9n^2+6n+1-3n-1＝9n^2+3n
＝3(3n^2+n)

ここで，3n^2+nは整数だから，
3(3n^2+n)は3の倍数である。

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