Blog - カワズの数学ノート（数学検定）

2010年4月14日，アイスランドのエイヤフィヤトラヨークトル氷河にある火山が大規模な噴火を起こし，噴火が始まって最初の３日間で１億ｍ^３の火山灰が放出され，ヨーロッパの航空便などに大きな影響を与えた。これについて，次の問いに答えよ。

東京都千代田区の面積はおよそ11.64km²である。面積が11.64km²の土地に１億m³の火山灰を敷き詰めたとすると，火山灰の高さはおよそ何mになるか。答えは四捨五入して上から２桁の概数で求めよ。

単位を整理する。
　11.64[km²]＝11.64×10⁶[m²]
　１億[m³]＝1×10⁸[m³]

　体積[m³]＝面積[m²]×高さ[m]であるので，
　１億[m³]＝11.64[km²]×ｈ[m]
　1×10⁸[m³]＝11.64×10⁶[m²]×ｈ[m]
　ｈ[m]＝｛1×10⁸[m³]｝÷｛11.64×10⁶[m²]｝
　　　　＝｛100×10⁶｝÷｛11.64×10⁶｝
　　　　＝8.591…
　　　　≓ 8.6[m]　　　//

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三角形ＡＢＣにおいて
　　ＡＢ＝４，ＡＣ＝７，０°＜Ａ＜９０°
が成り立ち，かつその面積が４√６であるとき，次の問いに答えよ。

（１）ｓｉｎＡの値を求めよ。

点Ｂから辺ＡＣに垂直な線を引くと，その長さは {AB*sinA} で表される。

三角形ＡＢＣの面積Ｓは {4sqrt{6}} であるから，
　　 {S=1/2{*AC*AB*sinA}=4sqrt{6}}
　　　 {1/2{*7*4*sinA}=4sqrt{6}}
　　　　　　　 {14sinA=4sqrt{6}}

よって， {sinA=2/7sqrt{6}} 　//

（２）辺ＢＣの長さを求めよ。

余弦定理より，

　 ${BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cosA}$
　　　　 ${=4^2+7^2-2*4*7*sqrt(1-sin^2A)}$
　　　　 {=16+49-56*sqrt(1-24/49)}
　　　　 {=16+49-56*{5/7}}
　 ${BC^2=25}$

　よって　 {BC=5} 　//

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３個のサイコロＡ，Ｂ，Ｃを同時に振るとき，どのサイコロの目も２以下となる確率を求めよ。

３個のサイコロを同時に振るときの，すべての場合の数は，
６×６×６＝２１６　２１６とおり

どのサイコロの目も「２以下」である組合せは，
（１，１，１）（１，１，２）（１，２，２）（１，２，１）
（２，１，１）（２，１，２）（２，２，１）（２，２，２）
８とおり

どのサイコロの目も「２以下」である確率は， {8/216=1/27} とおり　//

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２次関数 ${y=-x^2+2ax+2a}$ (は定数)について，次の問いに答えよ。

(１)２次関数のグラフの頂点の座標を求めよ

${y=a(x-p)^2+q}$ 　のとき，頂点の座標は　 {(p,q)} 　である。この形に持って行けば良い。

${y=-x^2+2ax+2a}$
　 ${=-(x^2-2ax-2a)}$
　 ${=-(x^2-2ax+a^2-a^2-2a)}$
　 ${=-((x-a)^2-a^2-2a)}$
　 ${=-(x-a)^2+(a^2+2a)}$

　　　　　　　　　　　　　Ans. (a , a^2+2a)　　//

(２)前の問いで求めた座標が最小となるときのの値を求めよ。

　　座標　 ${a^2+2a}$ 　が最小となるときの　を求める。

　　 ${a^2+2a=a^2+2a+1-1}$
　　　　　 ${=(a+1)^2-1}$

この値が最小となるのは， ${(a+1)^2}$ が最小のとき。
カッコの中が０であるときだから， {a=-1} のとき。

　　　　　　　　　　　　　　　Ans.　a=-1 //

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２次方程式 ${x^2+4x+a=0}$ （は定数）の解の一つが「３」であるとき，もう一つの解を求めよ

{~a} の値を求める。

２次方程式に， {x=3} を代入して，
　　 ${3^2+4*3+a=0}$
　　 {a=-21}

　　 ${x^2+4x-21=0}$ を解くと，
　　 {(x+7)(x-3)=0} より，
　　 {x=-7,3}

　　もう一つの解は，「－７」　　//

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3 で割ると 1 余る正の整数がある。この数の 2 乗からこの数自身をひいた差は 3 の倍数であることを証明せよ。

正の整数を n とおく。a は整数とする。
題意より，
　　n ÷ 3 ＝ a 余り 1　→　a × 3 + 1 ＝ n
∴　n – 1 ＝ 3a

n の 2 乗から n を引いた差は，
　　n ( n – 1 ) ＝ n × 3a
a，nは整数なので，3の倍数であるといえる。//

～スマートに書くなら～

3で割ると1余る正の整数は，3n+1 と表される。
この数の 2 乗からこの数自身をひいた差は

　(3n+1)^2-(3n+1)
＝9n^2+6n+1-3n-1＝9n^2+3n
＝3(3n^2+n)

ここで，3n^2+nは整数だから，
3(3n^2+n)は3の倍数である。

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１辺の長さがである正三角形について，次の問いに答えよ。

（１）この正三角形の面積を ${y cm^2}$ とするとき，をを用いて表せ。

　　 {y=x*{sqrt{3}/2x}*{1/2}}
　　　 ${=sqrt{3}/4x^2}$

（２）面積が ${9sqrt{3}cm^2}$ である正三角形の１辺の長さを求めよ。

　　 ${y=sqrt{3}/4x^2}$ 　より，
　　 ${9sqrt{3}=sqrt{3}/4x^2}$
　　 ${9=1/4x^2}$
　　 ${x^2=9*4=36}$
　　 {x=6} 　　//

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ａとｂを正の数とする。
このとき，ａとｂのそれぞれの逆数の比は，ｂ：ａと等しいことを証明せよ。

ａの逆数＝１／ａ
ｂの逆数＝１／ｂ

逆数の比は，
１／ａ：１／ｂ

両者に「ａｂ」を掛けると，
１／ａ：１／ｂ　＝　ａｂ／ａ：ａｂ／ｂ
　　　　　　　　＝　ｂ：ａ

よって，ａとｂのそれぞれの逆数の比は，ｂ：ａと等しい　//

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のとき，との値をそれぞれ求めよ。ただし，０＜＜180°とする。

${cos theta=sqrt{1-sin^2 theta}}$ 　より，
${cos theta=sqrt{1-(12/13)^2}=sqrt{13^2-12^2}/13=sqrt{25}/13=5/13}$
0°<θ＜90°　　のとき， {cos theta=5/13}
90°<θ＜180°　のとき， {cos theta=-5/13}

{tan theta={sin theta}/{cos theta}} 　より，
{tan theta={12/13}/{5/13}=12/5}
0°<θ＜90°　　のとき， {tan theta=12/5}
90°<θ＜180°　のとき， {tan theta=-12/5} 　　//