カテゴリー: 数学検定

当たりくじを引く確率

当たりくじ３本を含む１０本のくじを，１０人の人が順番に１本ずつ引いていく。一度引いたくじはもとに戻さないものとする。

１番目，２番目，３番目にくじを引く人が，３人とも当たりくじを引く確率を求めよ。

１番目の人が当たりくじを引く確率は，3/10。

２番目の人が当たりくじを引く確率は，2/9。

３番目の人が当たりくじを引く確率は，1/8。

確率の積の法則より，

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点Ｐと正方形の面積

長さ４cmの線分ＡＢ上に点Ｐをとり，線分ＡＰ，線分ＢＰをそれぞれ１辺とする正方形をつくる。
線分ＡＰの長さをＸcmとおき，２つの正方形の面積の和をＳ㎠として次の問いに答えよ。
ただし点Ｐは点Ａ，点Ｂのいずれとも異なる点であるとする。

１．ＳをＸを用いた式で表せ。

{S=(AP)^2+(BP)^2}
　{=x^2+(4-x)^2}
　{=x^2+16-8x+x^2}
　{=2x^2-8x+16}

２．Ｓの最小値と，そのときの線分ＡＰの長さを求めよ。

{S=2x^2-8x+16}　を整理して，
{S=2(x^2-4x+4)+8}
　{=2(x-2)^2+8}

{S=2(x-2)^2+8} 　のグラフは，
{S=2x^2}　のグラフを，
　　・x軸に　＋2
　　・y軸に　＋8
ずらしたものである。

グラフより，Ｓの最小値は，ｘ＝2のとき
{S=2(2-2)^2+8}
　{=8cm^2}

このときの線分ＡＰの長さは，
{x=2cm} 　　//

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整数の証明問題

５で割ると３余る正の整数がある。この整数の２乗に１を加えると５の倍数になることを証明せよ。

５で割ると３余る正の整数は，ｎを正の整数とすると，

　　{5n+3}

で表される。この２乗に１を加えると，

　　{(5n+3)^2+1}
　　{=25n^2+30n+9+1}
　　{=25n^2+30n+10}
　　{=5(5n^2+6n+2)}

（　）の中は整数なので，５の倍数といえる。

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数学検定の申込み

4月12日の検定申込みは，昨日，2月10日から始まりました。

コンビニで申込みできるようです。

https://www.su-gaku.net/suken/application/individual/store.php

ファミマのファミポートで申込みしてきました。

準２級，5,200円。

氏名，住所，電話番号の入力に，多少時間がかかりましたが，迷わずできました。

立方体の頂点を結ぶ正三角形

１辺の長さが６ｃｍの立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。
３つの頂点Ａ，Ｆ，Ｈを線分で結んで正三角形ＡＦＨをつくるとき，次の問いに答えよ。

①辺ＡＦの長さを求めよ。

辺ＡＦは，１辺が６ｃｍの正方形の対角線であるので，

　　{6sqrt{2}}cm

②正三角形ＡＦＨの面積を求めよ。

１辺が{6sqrt{2}cm}の正三角形の面積であるので，

高さは， {6sqrt{2}}{*sqrt{3}/2=3sqrt{6}}

面積＝底辺×高さ÷２　より，

　　{6sqrt{2}}{*3sqrt{6}/2=9sqrt{12}=18sqrt{3}}

　　 {18sqrt{3}cm^2}

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集合（２）

１００以下の正の整数のうち，次の条件を満たす数の個数をそれぞれ求めなさい。

①　１８で割り切れる

１００÷１８＝５あまり１０

Ａｎｓ．５個

②６または９で割り切れる

６の倍数　１００÷６＝１６あまり４

９の倍数　１００÷９＝１１あまり１

６と９の最小公倍数　１８

　１８の倍数　①より，５個

６または９で割りきれる数の個数は，

６の倍数＋９の倍数－１８の倍数

＝１６＋１１－５

＝２２個

Ａｎｓ．２２個