幾何アーカイブ - カワズの数学ノート（数学検定）

三角形の面積（２）

～２辺の長さと面積から１辺の長さを求める～

三角形ＡＢＣにおいて
　　ＡＢ＝４，ＡＣ＝７，０°＜Ａ＜９０°
が成り立ち，かつその面積が４√６であるとき，次の問いに答えよ。

（１）ｓｉｎＡの値を求めよ。

点Ｂから辺ＡＣに垂直な線を引くと，その長さは {AB*sinA} で表される。

三角形ＡＢＣの面積Ｓは {4sqrt{6}} であるから，
　　 {S=1/2{*AC*AB*sinA}=4sqrt{6}}
　　　 {1/2{*7*4*sinA}=4sqrt{6}}
　　　　　　　 {14sinA=4sqrt{6}}

よって， {sinA=2/7sqrt{6}} 　//

（２）辺ＢＣの長さを求めよ。

余弦定理より，

　 ${BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cosA}$
　　　　 ${=4^2+7^2-2*4*7*sqrt(1-sin^2A)}$
　　　　 {=16+49-56*sqrt(1-24/49)}
　　　　 {=16+49-56*{5/7}}
　 ${BC^2=25}$

　よって　 {BC=5} 　//

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正三角形の面積と辺の長さ

～面積から辺の長さを求める～　

１辺の長さがである正三角形について，次の問いに答えよ。

（１）この正三角形の面積を ${y cm^2}$ とするとき，をを用いて表せ。

　　 {y=x*{sqrt{3}/2x}*{1/2}}
　　　 ${=sqrt{3}/4x^2}$

（２）面積が ${9sqrt{3}cm^2}$ である正三角形の１辺の長さを求めよ。

　　 ${y=sqrt{3}/4x^2}$ 　より，
　　 ${9sqrt{3}=sqrt{3}/4x^2}$
　　 ${9=1/4x^2}$
　　 ${x^2=9*4=36}$
　　 {x=6} 　　//

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三角関数の関係

～ととの関係～　

のとき，との値をそれぞれ求めよ。ただし，０＜＜180°とする。

${cos theta=sqrt{1-sin^2 theta}}$ 　より，
${cos theta=sqrt{1-(12/13)^2}=sqrt{13^2-12^2}/13=sqrt{25}/13=5/13}$
0°<θ＜90°　　のとき， {cos theta=5/13}
90°<θ＜180°　のとき， {cos theta=-5/13}

{tan theta={sin theta}/{cos theta}} 　より，
{tan theta={12/13}/{5/13}=12/5}
0°<θ＜90°　　のとき， {tan theta=12/5}
90°<θ＜180°　のとき， {tan theta=-12/5} 　　//

【公式の意味】

図の三角形で，
{sin theta=a/c}
{cos theta=b/c}
{tan theta=a/b}
である。

三平方の定理より，
${sin^2 theta+cos^2 theta=(a/c)^2+(b/c)^2={a^2+b^2}/c^2=c^2/c^2=1}$ 　となる。

よって， ${cos theta=sqrt{1-sin^2 theta}}$

{tan theta=a/b={a/c}*{c/b}={sin theta}/{cos theta}} 　となる。

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三角比の表を使った計算

～いつもは電卓を使うけど，基本にもどって三角比の表を使います～　

図のように，ＡＢ＝５，ＢＣ＝４，ＣＡ＝３，∠Ｃ＝９０°の直角三角形ＡＢＣがある。三角比の表から，∠Ｂの大きさに最も近い角度を求めよ。

{sin B=CA/AB=3/5=0.6}
{cos B=BC/AB=4/5=0.8}
{tan B=CA/BC=3/4=0.75}

表より，最も近い値は，３７°　　//

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三角形の辺の長さを求める

～三角形の内角の二等分線の性質を利用して，三角形の辺の案が差を求める～　

図のように，ＡＢ＝３ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，ＣＡ＝５ｃｍである△ＡＢＣがある。∠Ａの二等分線を引き，辺ＢＣとの交点をＤとおくとき，次の問いに答えよ。

（１）ＢＤ：ＤＣを求めよ。

　　三角形の二等分線の性質より，
　　ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ＝３：５

（２）ＢＤの長さを求めよ。

　　 {BD=6*{3/{3+5}}=2.25cm} 　　//

【三角形の二等分線の性質】

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直角三角形の辺の長さ

～直角三角形の３辺の長さが連続する正数の場合～　

連続する３つの正の整数がそれぞれ直角三角形の３辺の長さであるようなの値は，であることを証明せよ。

連続する正の整数であるので， ~b=a+1,~c=b+1=a+2 とおける。

直角三角形の辺の長さは， c^2=a^2+b^2 の関係であるから，
　 (a+2)^2=a^2+(a+1)^2
　 a^2+4a+4=a^2+a^2+2a+1

について解くと，
　 a^2-2a-3=0
　 (a-3)(a+1)=0
　 a=3,-1

は正の整数なので，
　 a=3

よって， a=3,b=4,c=5 　　//

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正多角形の面積

～正多角形の１辺の長さから面積を求める～

正多角形において，１辺の長さを，面積をとおくと， ${y=ax^2}$ の関係が成り立つ。例えば正三角形では， ${y=sqrt{3}/4x^2}$ となる。

（１）正六角形について，，をの式で表せ。

１辺がの正六角形の面積は，１辺がの正三角形の面積の６倍である。

　　 ${y=sqrt{3}/4x^2*6}$
　　　 ${={3sqrt{3}}/2x^2}$

（２）面積がの正三角形の１辺の長さを求めよ。

　　 ${y=sqrt{3}/4x^2}$ より，

　　 ${x^2={4/sqrt{3}y}}$
　　　　 {={4/sqrt{3}}*{8sqrt{3}}}
　　　　 {=32}

　　は正なので，
　　 {x=sqrt{32}}
　　　 {=4sqrt{2}} 　　//　

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円の接線を作図

～円の接線を作図する～

図のように，円Ｏの外部に点Ａがある。点Ａを通る円Ｏの接線について，次の問いに答えよ。

（１）接点の一つを点Ｐとおくとき，∠ＡＰＯの大きさを答えよ。

∠ＡＰＯ＝９０°

（２）点Ａから円Ｏに接線を引け。

①　線ＡＯを引く。

②　線ＡＯの垂直二等分線を引く。

③　線ＡＯの中心を点Ｂとおき，点Ｂを中心とし点Ａ，点Ｏを通る円を描く。

④　描いた円と，円Ｏとの交点を点Ｐと置く。

⑤　線ＡＰを引く。

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三角形の面積

～２辺の長さと垂線の長さから三角形の面積を求める～

図のように，ＡＢ＝１３，ＣＡ＝３７である△ＡＢＣの頂点Ａから辺ＢＣに垂線を引き，辺ＢＣとの交点をＤとする。ＡＤ＝１２のとき，△ＡＢＣの面積を求めよ。

直角三角形において，斜辺の長さをｃ，他の２辺の長さをａ，ｂとすると， ${c^2=a^2+b^2}$ が成り立つ（ピタゴラスの定理）。

直角三角形ＡＤＢにおいて，
${13^2=12^2+BD^2}$
${BD=sqrt{13^2-12^2}=5}$

直角三角形ＡＤＣにおいて，
${37^2=12^2+CD^2}$
${CD=sqrt{37^2-12^2}=35}$

よって，△ＡＢＣの面積Ｓは，
{S2={(5+35)*12}/2=240} 　//

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相似な図形の面積

～相似な図形の面積比から実際の面積を求める～

平面上に２つの相似な図形Ａ，Ｂがある。Ａ，Ｂの対応する１辺の長さの比は１：で，このとき面積の比は１： ${x^2}$ と表される。
Ａ，Ｂの面積をそれぞれ，として，次の問いに答えよ。

（１）を，を用いて表せ。

　　　 {~a} ： {y=} １： ${x^2}$ 　より，
　　　　 ${y*1=a*x^2}$
　　よって， ${y=ax^2}$ 　　//

（２）Ａ，Ｂの対応する１辺の長さの比が１：３で，Ｂの面積が１８であるとき，Ａの面積を求めよ。

　　　 ${y=ax^2}$ 　に代入して，
　　　 ${18=a*3^2=9a}$
　　　 {a=18/9=2} 　　//

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