カテゴリー: 幾何

三角関数と三角形の面積

～三角形の２辺とその間の角から面積を求める～

△ＡＢＣにおいて，ＡＢ＝１２，ＢＣ＝１０とし，∠ＡＢＣ＝ θ とする。ｃｏｓθ＝４/５のとき，次の問いに答えよ。

１．ｓｉｎθの値を求めよ。

{sin theta^2+cos theta^2=1}より，
{sin theta=sqrt{1-cos theta^2}}
　　 {=sqrt{1-(4/5)^2}}
　　 {=sqrt{9/25}}
　　 {=3/5}

２．△ＡＢＣの面積を求めよ。

三角形の面積の公式 {S=1/2absinA} より，{S=1/2AB*BC*sin theta}
{S=1/2}{*12*10*}{3/5}
　{=36cm^2} 　　//

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直角三角形の面積

～三角形の相似関係から面積を求める～

∠ＣＡＢ＝９０°の直角三角形ＡＢＣがある。
頂点Ａから辺ＢＣに垂線を引き，辺ＢＣとの交点をＨとする。
ＡＨ＝１２ｃｍ，ＢＨ＝１６ｃｍのとき，直角三角形ＡＢＣの面積を求めよ。

三角形ＡＢＣと三角形ＨＢＡは，
　∠ＢＡＣ＝∠ＢＨＡ＝９０°
　∠ＡＢＣ＝∠ＨＢＡ
２つの角度が同じなので，相似である。

三角形ＡＢＨに着目し，辺ＡＢの長さを求めると，
　　{AB=sqrt{BH^2+HA^2}}
　　　　{=sqrt{16^2+12^2}=sqrt{400}}
　　　　{= 20cm}

二つの三角形は相似なので，
　　 {AB:16=CA:12}
　　{16*CA=12*AB}
　　　　{CA={12*20}/16=15cm}

三角形の面積は，底辺×高さ÷２なので，

　　{15*20/2=150cm^2}

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方べきの定理

図のように，円の外部の点Ｐから，円と２点Ａ，Ｂで交わる直線と，円と２点Ｃ，Ｄで交わる直線を引くと，

ＰＡ×ＰＢ＝ＰＣ×ＰＤ

が成り立つ。これを，方べきの定理という。これを用いて，次の問いに答えよ。

ＡＢ＝11cm，ＰＣ＝5cm，ＣＤ＝7cmであるとき，ＰＡの長さを求めよ。

方べきの定理より，

ＰＡ×ＰＢ＝ＰＣ×ＰＤ

ＰＡ×（ＰＡ＋１１）＝５×（５＋７）

ＰＡ^2＋１１ＰＡ＝６０

ＰＡ^2＋１１ＰＡー６０＝０

ＰＡについて解くと

（ＰＡ＋１５）（ＰＡ－４）＝０

ＰＡ＝－１５，４

よって，ＰＡ＝４ｃｍ

　

方べきの定理　解説

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点Ｐと正方形の面積

長さ４cmの線分ＡＢ上に点Ｐをとり，線分ＡＰ，線分ＢＰをそれぞれ１辺とする正方形をつくる。
線分ＡＰの長さをＸcmとおき，２つの正方形の面積の和をＳ㎠として次の問いに答えよ。
ただし点Ｐは点Ａ，点Ｂのいずれとも異なる点であるとする。

１．ＳをＸを用いた式で表せ。

{S=(AP)^2+(BP)^2}
　{=x^2+(4-x)^2}
　{=x^2+16-8x+x^2}
　{=2x^2-8x+16}

２．Ｓの最小値と，そのときの線分ＡＰの長さを求めよ。

{S=2x^2-8x+16}　を整理して，
{S=2(x^2-4x+4)+8}
　{=2(x-2)^2+8}

{S=2(x-2)^2+8} 　のグラフは，
{S=2x^2}　のグラフを，
　　・x軸に　＋2
　　・y軸に　＋8
ずらしたものである。

グラフより，Ｓの最小値は，ｘ＝2のとき
{S=2(2-2)^2+8}
　{=8cm^2}

このときの線分ＡＰの長さは，
{x=2cm} 　　//

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立方体の頂点を結ぶ正三角形

１辺の長さが６ｃｍの立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。
３つの頂点Ａ，Ｆ，Ｈを線分で結んで正三角形ＡＦＨをつくるとき，次の問いに答えよ。

①辺ＡＦの長さを求めよ。

辺ＡＦは，１辺が６ｃｍの正方形の対角線であるので，

　　{6sqrt{2}}cm

②正三角形ＡＦＨの面積を求めよ。

１辺が{6sqrt{2}cm}の正三角形の面積であるので，

高さは， {6sqrt{2}}{*sqrt{3}/2=3sqrt{6}}

面積＝底辺×高さ÷２　より，

　　{6sqrt{2}}{*3sqrt{6}/2=9sqrt{12}=18sqrt{3}}

　　 {18sqrt{3}cm^2}

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三角関数マトリクス

(7) A～Hのマスにsin,cos,tanのどれかを入れる

三角関数の値を整理する。

順番に解いていこう。

① 1行目

θが0で、0とならないのはcos0°

→　Ｃ：cos0°

②3行目

θが150、90、135のうち、0となるのはcos90°

　→　Ｇ：cos90°

③3列目

cos0°= 1との積が－となるので、ＥとＨの一方が＋、一方が－

　→　Ｅ，Ｈどちらか：sin135°

　2行目

D30°、sin45°との積が－となるので、Ｅ135°は－

　→　Ｈ：sin135°

④3列目

　→　Ｅ：cos135°

⑤2行目

　→　Ｄ：sin30°

⑥1列目

　1行目

　→　Ｂ：tan120°

　→　Ａ：tan150°

⑦1列目

⑥より、Ｆはcos150°

→　Ｆ：cos150°

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曲尺を使い円の中心を求める

　曲尺（図１）という直角に曲がった定規を用いれば、円の直径や中心を求められ、丸太から無駄なく木材を切り出すことができる。
　円周上の任意の点Ａに曲尺の直角部分をあて、Ａ以外の曲尺と円との交点をＢ，Ｃとし、点Ｂと点Ｃを結ぶ（図２）。
　その後に曲尺を少しずらし、同様にして直線を引くと、その２点間の交点は円の中心になる（図３）。
　このことを説明せよ。

　円の性質より、直径に対する円周角は９０°。
　図２で、Ａ，Ｂ，Ｃは１つの円の円周上にあり、∠ＢＡＣ＝９０°であるから、線分ＢＣは直径。
　同様に、図３も直径を作図している。
　２つの直径は中心で交わるため、図３の交点は中心である。

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