点Ｐと正方形の面積

長さ４cmの線分ＡＢ上に点Ｐをとり，線分ＡＰ，線分ＢＰをそれぞれ１辺とする正方形をつくる。
線分ＡＰの長さをＸcmとおき，２つの正方形の面積の和をＳ㎠として次の問いに答えよ。
ただし点Ｐは点Ａ，点Ｂのいずれとも異なる点であるとする。

１．ＳをＸを用いた式で表せ。

${S=(AP)^2+(BP)^2}$
　 ${=x^2+(4-x)^2}$
　 ${=x^2+16-8x+x^2}$
　 ${=2x^2-8x+16}$

２．Ｓの最小値と，そのときの線分ＡＰの長さを求めよ。

${S=2x^2-8x+16}$ 　を整理して，
${S=2(x^2-4x+4)+8}$
　 ${=2(x-2)^2+8}$

${S=2(x-2)^2+8}$ 　のグラフは，
${S=2x^2}$ 　のグラフを，
　　・x軸に　＋2
　　・y軸に　＋8
ずらしたものである。

グラフより，Ｓの最小値は，ｘ＝2のとき
${S=2(2-2)^2+8}$
　 ${=8cm^2}$

このときの線分ＡＰの長さは，
{x=2cm} 　　//

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