カテゴリー: 数学検定

三角形の面積

～２辺の長さと垂線の長さから三角形の面積を求める～

図のように，ＡＢ＝１３，ＣＡ＝３７である△ＡＢＣの頂点Ａから辺ＢＣに垂線を引き，辺ＢＣとの交点をＤとする。ＡＤ＝１２のとき，△ＡＢＣの面積を求めよ。

直角三角形において，斜辺の長さをｃ，他の２辺の長さをａ，ｂとすると，{c^2=a^2+b^2}が成り立つ（ピタゴラスの定理）。

直角三角形ＡＤＢにおいて，
{13^2=12^2+BD^2}
{BD=sqrt{13^2-12^2}=5}

直角三角形ＡＤＣにおいて，
{37^2=12^2+CD^2}
{CD=sqrt{37^2-12^2}=35}

よって，△ＡＢＣの面積Ｓは，
{S2={(5+35)*12}/2=240}　//

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相似な図形の面積

～相似な図形の面積比から実際の面積を求める～

平面上に２つの相似な図形Ａ，Ｂがある。Ａ，Ｂの対応する１辺の長さの比は１：{~x}で，このとき面積の比は１：{x^2}と表される。
Ａ，Ｂの面積をそれぞれ{~a}，{~y}として，次の問いに答えよ。

（１）{~y}を{~a}，{~x}を用いて表せ。

　　　{~a}：{y=}１：{x^2}　より，
　　　　{y*1=a*x^2}
　　よって，{y=ax^2}　　//

（２）Ａ，Ｂの対応する１辺の長さの比が１：３で，Ｂの面積が１８であるとき，Ａの面積を求めよ。

　　　{y=ax^2}　に代入して，
　　　{18=a*3^2=9a}
　　　{a=18/9=2}　　//

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素数の問題

～ある条件を満たす素数の組合せを求める～

正の整数 n を考える。

n は {p^3q^2} で表される。ただし，p，qはともに素数で p≠q である。

150≦n≦250 のとき，上の条件を満たす n がひとつだけある。この n を求めよ。

小さい素数から当てはめて傾向をさぐってみる。
素数は，２，３，５．７，・・・

{p=2}，{q=3} のとき，
{n=2^3*3^2=72}

{p=2}，{q=5} のとき，
{n=2^3*5^2=200}

もう出てきた。。。

150≦n≦250 を満たすn はひとつだけなので，
{n=200} 　　　　//

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２次関数（７）

～放物線の頂点の座標・２点を通る放物線の式～

放物線　{y=2x^2-12x-12}　について。

（１）頂点の座標

放物線 {y=a(x-p)^2+q} の頂点の座標は，{(p,q)} である。

式を変形する。
{ y=2x^2-12x-12}
　{ =2(x^2-6x-6)}
　{ =2(x^2-6x+9-9-6)}
　{ =2((x-3)^2-15)}
　{ =2(x-3)^2-30}

よって，頂点の座標は，
{(x,y)=(3,-30)} 　//

（２）上記で求めた点を頂点とし，点{(-2,5)}を通る放物線の式

{(x,y)=(3,-30)}を頂点とする放物線の式は，
{y=a(x-3)^2-30} で表される 。

{(x,y)=(-2,5)}を代入して，
{5=a((-2)-3)^2-30}
{5=25a-30}
{a=35/25=7/5}

求める放物線の式は，
{y=7/5(x-3)^2-30}　//

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三角関数と三角形の面積

～三角形の２辺とその間の角から面積を求める～

△ＡＢＣにおいて，ＡＢ＝１２，ＢＣ＝１０とし，∠ＡＢＣ＝ θ とする。ｃｏｓθ＝４/５のとき，次の問いに答えよ。

１．ｓｉｎθの値を求めよ。

{sin theta^2+cos theta^2=1}より，
{sin theta=sqrt{1-cos theta^2}}
　　 {=sqrt{1-(4/5)^2}}
　　 {=sqrt{9/25}}
　　 {=3/5}

２．△ＡＢＣの面積を求めよ。

三角形の面積の公式 {S=1/2absinA} より，{S=1/2AB*BC*sin theta}
{S=1/2}{*12*10*}{3/5}
　{=36cm^2} 　　//

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組合せの数～nCr～

～コンビネーション・ｍ個の異なるものからｎ個を選ぶ選び方～

Ａさんたち１２人のグループでパーティーを行うことにしました。その準備のため，必要なものの買い出しに４人が行き，残りの８人で飾り付けを行うことに決めました。
Ａさんは必要なものの買い出しに行くものとするとき，買い出しに行く４人の選び方は，全部で何通りですか。

Ａさんは買い出しに行くと決まっているので，残り１１人から３人の選び方を考える。

{11C3={11*10*9}/{3*2*1}=165}通り　　//

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直角三角形の面積

～三角形の相似関係から面積を求める～

∠ＣＡＢ＝９０°の直角三角形ＡＢＣがある。
頂点Ａから辺ＢＣに垂線を引き，辺ＢＣとの交点をＨとする。
ＡＨ＝１２ｃｍ，ＢＨ＝１６ｃｍのとき，直角三角形ＡＢＣの面積を求めよ。

三角形ＡＢＣと三角形ＨＢＡは，
　∠ＢＡＣ＝∠ＢＨＡ＝９０°
　∠ＡＢＣ＝∠ＨＢＡ
２つの角度が同じなので，相似である。

三角形ＡＢＨに着目し，辺ＡＢの長さを求めると，
　　{AB=sqrt{BH^2+HA^2}}
　　　　{=sqrt{16^2+12^2}=sqrt{400}}
　　　　{= 20cm}

二つの三角形は相似なので，
　　 {AB:16=CA:12}
　　{16*CA=12*AB}
　　　　{CA={12*20}/16=15cm}

三角形の面積は，底辺×高さ÷２なので，

　　{15*20/2=150cm^2}

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