カテゴリー: 代数

２次関数の座標

～二次関数の頂点の座標を求める～　

２次関数{y=-x^2+2ax+2a} (~aは定数)について，次の問いに答えよ。

(１)２次関数のグラフの頂点の座標を求めよ

{y=a(x-p)^2+q}　のとき，頂点の座標は　{(p,q)}　である。この形に持って行けば良い。

{y=-x^2+2ax+2a}
　{=-(x^2-2ax-2a)}
　 {=-(x^2-2ax+a^2-a^2-2a)}
　 {=-((x-a)^2-a^2-2a)}
　 {=-(x-a)^2+(a^2+2a)}

　　　　　　　　　　　　　Ans. (a , a^2+2a)　　//

(２)前の問いで求めた~y座標が最小となるときの~aの値を求めよ。

　　~y座標　{a^2+2a}　が最小となるときの~a　を求める。

　　{a^2+2a=a^2+2a+1-1}
　　　　　{=(a+1)^2-1}

この値が最小となるのは，{(a+1)^2}が最小のとき。
カッコの中が０であるときだから，{a=-1}のとき。

　　　　　　　　　　　　　　　Ans.　a=-1 //


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２次方程式の解

～不明な定数を含む２次方程式で，１つの解がわかっているとき，もう一つの解を求める～　

２次方程式 {x^2+4x+a=0}（{~a}は定数）の解の一つが「３」であるとき，もう一つの解を求めよ

{~a}の値を求める。

２次方程式に，{x=3}を代入して，
　　{3^2+4*3+a=0}
　　{a=-21}

　　{x^2+4x-21=0}を解くと，
　　{(x+7)(x-3)=0}より，
　　{x=-7,3}

　　もう一つの解は，「－７」　　//

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正の整数の証明問題

3 で割ると 1 余る正の整数がある。この数の 2 乗からこの数自身をひいた差は 3 の倍数であることを証明せよ。

正の整数を n とおく。a は整数とする。
題意より，
　　n ÷ 3 ＝ a 余り 1　→　a × 3 + 1 ＝ n
∴　n – 1 ＝ 3a

n の 2 乗から n を引いた差は，
　　n ( n – 1 ) ＝ n × 3a
a，nは整数なので，3の倍数であるといえる。//

～スマートに書くなら～

3で割ると1余る正の整数は，3n+1 と表される。
この数の 2 乗からこの数自身をひいた差は

　(3n+1)^2-(3n+1)
＝9n^2+6n+1-3n-1＝9n^2+3n
＝3(3n^2+n)

ここで，3n^2+nは整数だから，
3(3n^2+n)は3の倍数である。

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逆数の比

～証明技能～　

ａとｂを正の数とする。
このとき，ａとｂのそれぞれの逆数の比は，ｂ：ａと等しいことを証明せよ。

ａの逆数＝１／ａ
ｂの逆数＝１／ｂ

逆数の比は，
１／ａ：１／ｂ

両者に「ａｂ」を掛けると，
１／ａ：１／ｂ　＝　ａｂ／ａ：ａｂ／ｂ
　　　　　　　　＝　ｂ：ａ

よって，ａとｂのそれぞれの逆数の比は，ｂ：ａと等しい　//

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最小公倍数

～１～９の最小公倍数を求める～　

１，２，３，４，５，６，７，８，９の最小公倍数を求めよ。

素因数分解してみる。
１　→　１
２　→　２
３　→　３
４　→　２×２
５　→　５
６　→　２×３
７　→　７
８　→　２×２×２
９　→　３×３

共通な素因数を消す

残った数を掛け合わせると，
５×７×２×２×２×３×３＝２５２０　　//

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素数の問題

～ある条件を満たす素数の組合せを求める～

正の整数 n を考える。

n は {p^3q^2} で表される。ただし，p，qはともに素数で p≠q である。

150≦n≦250 のとき，上の条件を満たす n がひとつだけある。この n を求めよ。

小さい素数から当てはめて傾向をさぐってみる。
素数は，２，３，５．７，・・・

{p=2}，{q=3} のとき，
{n=2^3*3^2=72}

{p=2}，{q=5} のとき，
{n=2^3*5^2=200}

もう出てきた。。。

150≦n≦250 を満たすn はひとつだけなので，
{n=200} 　　　　//

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７を整数の和で表す

正の整数を２個以上の互いに異なる正の整数の和として表す式が全部でいくつあるかについて考える。たとえば
５は「４＋１」「３＋２」と２通りに表され，
６は「５＋１」「４＋２」「３＋２＋１」と３通りに表される。
ただし「２＋１＋３」や「１＋２＋３」のように，和の順序を交換すると「３＋２＋１」になる式はすべて「３＋２＋１」と同じ式であると見なす。

７を２個以上の互いに異なる正の整数の和として表す式は全部でいくつあるか。

大きい順に考えてみる。

表より，４通り。

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