２次　数理技能アーカイブ - 2ページ目 (5ページ中) - カワズの数学ノート（数学検定）

組合せの方程式

～コンビネーションの方程式を解く（？）～　

ｎが２以上の整数であるとき，次の等式を満たすｎの値を求めよ。
　　₆₂C₂＋_nC₂＝2011

_nＣ_r＝ {n!/{r!(n-r)!}} 　

₆₂Ｃ₂＝ {{62*61*60*59*...*3*2*1}/{2*1(60*59*...*3*2*1)}}
　　＝ {{62*61}/2}

_nＣ₂＝ {{n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*...*3*2*1}/{2*1(n-2)*(n-3)*...*3*2*1}}
　　＝ {{n*(n-1)}/2}

{{62*61}/2+{n*(n-1)}/2=2011} 　をnについて解く。

${3782/2+{n^2-n}/2=2011}$
${3782+n^2-n=4022}$

${n^2-n-240=0}$
{(n+15)(n-16)=0}

{n=-15,16} 　nは整数なので，n=16　　//

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三角形の辺の長さを求める

～三角形の内角の二等分線の性質を利用して，三角形の辺の案が差を求める～　

図のように，ＡＢ＝３ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，ＣＡ＝５ｃｍである△ＡＢＣがある。∠Ａの二等分線を引き，辺ＢＣとの交点をＤとおくとき，次の問いに答えよ。

（１）ＢＤ：ＤＣを求めよ。

　　三角形の二等分線の性質より，
　　ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＤＣ＝３：５

（２）ＢＤの長さを求めよ。

　　 {BD=6*{3/{3+5}}=2.25cm} 　　//

【三角形の二等分線の性質】

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最小公倍数

～１～９の最小公倍数を求める～　

１，２，３，４，５，６，７，８，９の最小公倍数を求めよ。

素因数分解してみる。
１　→　１
２　→　２
３　→　３
４　→　２×２
５　→　５
６　→　２×３
７　→　７
８　→　２×２×２
９　→　３×３

共通な素因数を消す

残った数を掛け合わせると，
５×７×２×２×２×３×３＝２５２０　　//

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直角三角形の辺の長さ

～直角三角形の３辺の長さが連続する正数の場合～　

連続する３つの正の整数がそれぞれ直角三角形の３辺の長さであるようなの値は，であることを証明せよ。

連続する正の整数であるので， ~b=a+1,~c=b+1=a+2 とおける。

直角三角形の辺の長さは， c^2=a^2+b^2 の関係であるから，
　 (a+2)^2=a^2+(a+1)^2
　 a^2+4a+4=a^2+a^2+2a+1

について解くと，
　 a^2-2a-3=0
　 (a-3)(a+1)=0
　 a=3,-1

は正の整数なので，
　 a=3

よって， a=3,b=4,c=5 　　//

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正多角形の面積

～正多角形の１辺の長さから面積を求める～

正多角形において，１辺の長さを，面積をとおくと， ${y=ax^2}$ の関係が成り立つ。例えば正三角形では， ${y=sqrt{3}/4x^2}$ となる。

（１）正六角形について，，をの式で表せ。

１辺がの正六角形の面積は，１辺がの正三角形の面積の６倍である。

　　 ${y=sqrt{3}/4x^2*6}$
　　　 ${={3sqrt{3}}/2x^2}$

（２）面積がの正三角形の１辺の長さを求めよ。

　　 ${y=sqrt{3}/4x^2}$ より，

　　 ${x^2={4/sqrt{3}y}}$
　　　　 {={4/sqrt{3}}*{8sqrt{3}}}
　　　　 {=32}

　　は正なので，
　　 {x=sqrt{32}}
　　　 {=4sqrt{2}} 　　//　

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条件を満たす整数の組合せ

～条件を満たす整数の組合せを求める～

はすべて奇数で，次の関係を満たす。
　・ ${l^2+m^2+n^2=2011}$
　・
この等式を満たす奇数の組を求めよ。

表にして，ひとつずつ検討してみよう。

よって， {(l,m,n)=(9,9,43)} 　　//

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正直者とウソつき

～質問により，正直者かウソつきかを判定する～

Ａさんは，正直者かウソつきかのどちらかです。正直者だった場合は本当のことしか言わず，ウソつきだった場合は本当のことは絶対に言いません。

（１）Ａさんに「あなたは正直者ですか？」と質問すると，「はい」「いいえ」どちらの答えが返ってくるか。

Ａさんが正直者だった場合，本当のことしか言わないから，「はい」
Ａさんがウソつきだった場合，本当のことは言わないから，「はい」

「はい」と答える。　　//

（２）Ａさんに「あなたはウソつきですか？」と質問すると，「はい」「いいえ」どちらの答えが返ってくるか。

Ａさんが正直者だった場合，本当のことしか言わないから，「いいえ」
Ａさんがウソつきだった場合，本当のことは言わないから，「いいえ」

「いいえ」と答える。　　//

結局，Ａさんは何者なのか・・・？

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サイコロの確率

～サイコロを振って出る目の確率～

２個のサイコロを同時に振るとき，出る目の数の最大値が４である確率を求めよ。

２個のサイコロを同時に振るときの，すべての場合の数は，
６×６＝３６　３６とおり

最大値が「４」である組合せは，
（１，４）（２，４）（３，４）（４，４）
（４，１）（４，２）（３，３）
７とおり

出る目の数の最大値が４である確率は， {7/36} とおり　//

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円の接線を作図

～円の接線を作図する～

図のように，円Ｏの外部に点Ａがある。点Ａを通る円Ｏの接線について，次の問いに答えよ。

（１）接点の一つを点Ｐとおくとき，∠ＡＰＯの大きさを答えよ。

∠ＡＰＯ＝９０°

（２）点Ａから円Ｏに接線を引け。

①　線ＡＯを引く。

②　線ＡＯの垂直二等分線を引く。

③　線ＡＯの中心を点Ｂとおき，点Ｂを中心とし点Ａ，点Ｏを通る円を描く。

④　描いた円と，円Ｏとの交点を点Ｐと置く。

⑤　線ＡＰを引く。

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多項式の計算

～多項式の係数を求める～

次の等式のに当てはまる数を答えよ。

${x^4+4=(x^2+2x+a)(x^2-2x+2)}$

右辺を展開する。
${x^4+4=(x^2+2x+a)(x^2-2x+2)}$

　　　 ${=x^4-2x^3+2x^2+2x^3-4x^2+4x+ax^2-2ax+2a}$

　　　 ${=x^4+(a-2)x^2+2(2-a)x+2a}$

左辺と右辺の同じ次数の係数を比較する。
${x^4+0x^2+0x+4=x^4+(a-2)x^2+2(2-a)x+2a}$

・ ${0x^2=(a-2)x^2}$
・ {0x=(2-a)x}
・ {4=2a}

よって， {a=2} 　　　//

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