２次　数理技能アーカイブ - 3ページ目 (5ページ中) - カワズの数学ノート（数学検定）

三角形の面積

～２辺の長さと垂線の長さから三角形の面積を求める～

図のように，ＡＢ＝１３，ＣＡ＝３７である△ＡＢＣの頂点Ａから辺ＢＣに垂線を引き，辺ＢＣとの交点をＤとする。ＡＤ＝１２のとき，△ＡＢＣの面積を求めよ。

直角三角形において，斜辺の長さをｃ，他の２辺の長さをａ，ｂとすると， ${c^2=a^2+b^2}$ が成り立つ（ピタゴラスの定理）。

直角三角形ＡＤＢにおいて，
${13^2=12^2+BD^2}$
${BD=sqrt{13^2-12^2}=5}$

直角三角形ＡＤＣにおいて，
${37^2=12^2+CD^2}$
${CD=sqrt{37^2-12^2}=35}$

よって，△ＡＢＣの面積Ｓは，
{S2={(5+35)*12}/2=240} 　//

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相似な図形の面積

～相似な図形の面積比から実際の面積を求める～

平面上に２つの相似な図形Ａ，Ｂがある。Ａ，Ｂの対応する１辺の長さの比は１：で，このとき面積の比は１： ${x^2}$ と表される。
Ａ，Ｂの面積をそれぞれ，として，次の問いに答えよ。

（１）を，を用いて表せ。

　　　 {~a} ： {y=} １： ${x^2}$ 　より，
　　　　 ${y*1=a*x^2}$
　　よって， ${y=ax^2}$ 　　//

（２）Ａ，Ｂの対応する１辺の長さの比が１：３で，Ｂの面積が１８であるとき，Ａの面積を求めよ。

　　　 ${y=ax^2}$ 　に代入して，
　　　 ${18=a*3^2=9a}$
　　　 {a=18/9=2} 　　//

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素数の問題

～ある条件を満たす素数の組合せを求める～

正の整数を考える。

は ${p^3q^2}$ で表される。ただし，，はともに素数で ≠ である。

≦≦ のとき，上の条件を満たすがひとつだけある。このを求めよ。

小さい素数から当てはめて傾向をさぐってみる。
素数は，２，３，５．７，・・・

{p=2} ， {q=3} のとき，
${n=2^3*3^2=72}$

{p=2} ， {q=5} のとき，
${n=2^3*5^2=200}$

もう出てきた。。。

150 ≦≦ 250 を満たすはひとつだけなので，
{n=200} 　　　　//

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三角関数と三角形の面積

～三角形の２辺とその間の角から面積を求める～

△ＡＢＣにおいて，ＡＢ＝１２，ＢＣ＝１０とし，∠ＡＢＣ＝ θ とする。ｃｏｓθ＝４/５のとき，次の問いに答えよ。

１．ｓｉｎθの値を求めよ。

${sin theta^2+cos theta^2=1}$ より，
${sin theta=sqrt{1-cos theta^2}}$
　　 ${=sqrt{1-(4/5)^2}}$
　　 {=sqrt{9/25}}
　　 {=3/5}

２．△ＡＢＣの面積を求めよ。

三角形の面積の公式 {S=1/2absinA} より， {S=1/2AB*BC*sin theta}
{S=1/2}{*12*10*}{3/5}
　 ${=36cm^2}$ 　　//

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組合せの数～nCr～

～コンビネーション・ｍ個の異なるものからｎ個を選ぶ選び方～

Ａさんたち１２人のグループでパーティーを行うことにしました。その準備のため，必要なものの買い出しに４人が行き，残りの８人で飾り付けを行うことに決めました。
Ａさんは必要なものの買い出しに行くものとするとき，買い出しに行く４人の選び方は，全部で何通りですか。

Ａさんは買い出しに行くと決まっているので，残り１１人から３人の選び方を考える。

{11C3={11*10*9}/{3*2*1}=165} 通り　　//

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直角三角形の面積

～三角形の相似関係から面積を求める～

∠ＣＡＢ＝９０°の直角三角形ＡＢＣがある。
頂点Ａから辺ＢＣに垂線を引き，辺ＢＣとの交点をＨとする。
ＡＨ＝１２ｃｍ，ＢＨ＝１６ｃｍのとき，直角三角形ＡＢＣの面積を求めよ。

三角形ＡＢＣと三角形ＨＢＡは，
　∠ＢＡＣ＝∠ＢＨＡ＝９０°
　∠ＡＢＣ＝∠ＨＢＡ
２つの角度が同じなので，相似である。

三角形ＡＢＨに着目し，辺ＡＢの長さを求めると，
　　 ${AB=sqrt{BH^2+HA^2}}$
　　　　 ${=sqrt{16^2+12^2}=sqrt{400}}$
　　　　 {= 20cm}

二つの三角形は相似なので，
　　 {AB:16=CA:12}
　　 {16*CA=12*AB}
　　　　 {CA={12*20}/16=15cm}

三角形の面積は，底辺×高さ÷２なので，

　　 ${15*20/2=150cm^2}$

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方べきの定理

図のように，円の外部の点Ｐから，円と２点Ａ，Ｂで交わる直線と，円と２点Ｃ，Ｄで交わる直線を引くと，

ＰＡ×ＰＢ＝ＰＣ×ＰＤ

が成り立つ。これを，方べきの定理という。これを用いて，次の問いに答えよ。

ＡＢ＝11cm，ＰＣ＝5cm，ＣＤ＝7cmであるとき，ＰＡの長さを求めよ。

方べきの定理より，

ＰＡ×ＰＢ＝ＰＣ×ＰＤ

ＰＡ×（ＰＡ＋１１）＝５×（５＋７）

ＰＡ^2＋１１ＰＡ＝６０

ＰＡ^2＋１１ＰＡー６０＝０

ＰＡについて解くと

（ＰＡ＋１５）（ＰＡ－４）＝０

ＰＡ＝－１５，４

よって，ＰＡ＝４ｃｍ

　

方べきの定理　解説

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電気回路の消費電力

R[Ω]の抵抗にV[V]の電圧をかけたときの消費電力をP[W]とすると，
　　 ${P=1/R}{*V^2}$
という関係式が成り立つ。これについて，次の問いに答えよ。

(1) 200[Ω]の抵抗に100[V]の電圧をかけた時の消費電力を求めよ。

${P=1/R}{*V^2}$ 　に代入して，

${P=1/200}{*100^2}$

　　 {=50} [W]

(2) 300[Ω]の抵抗にある電圧をかけたとき，その消費電力は108[W]だった。このとき，その抵抗にかけた電圧を求めよ。

${P=1/R}{*V^2}$ 　を変形して，　　　　　　　　　　　　　　　　　

{V=}{sqrt{PR}}

代入して，

{V=}{sqrt{108*300}}

　　 {=180} [V]

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７を整数の和で表す

正の整数を２個以上の互いに異なる正の整数の和として表す式が全部でいくつあるかについて考える。たとえば
５は「４＋１」「３＋２」と２通りに表され，
６は「５＋１」「４＋２」「３＋２＋１」と３通りに表される。
ただし「２＋１＋３」や「１＋２＋３」のように，和の順序を交換すると「３＋２＋１」になる式はすべて「３＋２＋１」と同じ式であると見なす。

７を２個以上の互いに異なる正の整数の和として表す式は全部でいくつあるか。

大きい順に考えてみる。

表より，４通り。

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平行四辺形の面積と対角線

平行四辺形ABCDにおいて，
AB＝5，BC＝8，∠ABC＝θ（0°＜θ＜90°）
が成り立つとき，次の問いに答えよ。

（１）平行四辺形ABCDの面積をθを用いて表せ。

（２）対角線ACの長さをθを用いて表せ。

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