カテゴリー: ２次　数理技能

当たりくじを引く確率

当たりくじ３本を含む１０本のくじを，１０人の人が順番に１本ずつ引いていく。一度引いたくじはもとに戻さないものとする。

１番目，２番目，３番目にくじを引く人が，３人とも当たりくじを引く確率を求めよ。

１番目の人が当たりくじを引く確率は，3/10。

２番目の人が当たりくじを引く確率は，2/9。

３番目の人が当たりくじを引く確率は，1/8。

確率の積の法則より，

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点Ｐと正方形の面積

長さ４cmの線分ＡＢ上に点Ｐをとり，線分ＡＰ，線分ＢＰをそれぞれ１辺とする正方形をつくる。
線分ＡＰの長さをＸcmとおき，２つの正方形の面積の和をＳ㎠として次の問いに答えよ。
ただし点Ｐは点Ａ，点Ｂのいずれとも異なる点であるとする。

１．ＳをＸを用いた式で表せ。

{S=(AP)^2+(BP)^2}
　{=x^2+(4-x)^2}
　{=x^2+16-8x+x^2}
　{=2x^2-8x+16}

２．Ｓの最小値と，そのときの線分ＡＰの長さを求めよ。

{S=2x^2-8x+16}　を整理して，
{S=2(x^2-4x+4)+8}
　{=2(x-2)^2+8}

{S=2(x-2)^2+8} 　のグラフは，
{S=2x^2}　のグラフを，
　　・x軸に　＋2
　　・y軸に　＋8
ずらしたものである。

グラフより，Ｓの最小値は，ｘ＝2のとき
{S=2(2-2)^2+8}
　{=8cm^2}

このときの線分ＡＰの長さは，
{x=2cm} 　　//

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整数の証明問題

５で割ると３余る正の整数がある。この整数の２乗に１を加えると５の倍数になることを証明せよ。

５で割ると３余る正の整数は，ｎを正の整数とすると，

　　{5n+3}

で表される。この２乗に１を加えると，

　　{(5n+3)^2+1}
　　{=25n^2+30n+9+1}
　　{=25n^2+30n+10}
　　{=5(5n^2+6n+2)}

（　）の中は整数なので，５の倍数といえる。

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立方体の頂点を結ぶ正三角形

１辺の長さが６ｃｍの立方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。
３つの頂点Ａ，Ｆ，Ｈを線分で結んで正三角形ＡＦＨをつくるとき，次の問いに答えよ。

①辺ＡＦの長さを求めよ。

辺ＡＦは，１辺が６ｃｍの正方形の対角線であるので，

　　{6sqrt{2}}cm

②正三角形ＡＦＨの面積を求めよ。

１辺が{6sqrt{2}cm}の正三角形の面積であるので，

高さは， {6sqrt{2}}{*sqrt{3}/2=3sqrt{6}}

面積＝底辺×高さ÷２　より，

　　{6sqrt{2}}{*3sqrt{6}/2=9sqrt{12}=18sqrt{3}}

　　 {18sqrt{3}cm^2}

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平方数の積を平方数の和で表す

【平方数とは（定義）】
　ある正の整数の２乗の形で表される数

【平方数の性質】
・４で割って１余る素数は，必ず２つの平方数の和で１通りに表される。
・４で割って１余る素数の積は，必ず２つの平方数の和で２通りに表される。

・たとえば
　４で割って１余る２つの素数である５と１３は

とそれぞれ２つの平方数の和で一通りに表され，この２数の積は

と２つの平方数の和で２通りに表される。

これをふまえて・・・

問題

２０１７と２９は，どちらも４で割って１余る素数で，それぞれ，

と，２つの平方数の和で表される。

この２数の積２０１７×２９を，下の等式を利用して，２つの平方数の和で２通り表せ。

解答

ここで，公式を使い代入すると，

これが一つ目。ｃとｄを入れ替えて，もう一つを計算する。

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矢が的に当たる確率

～矢を放って的に当たる確率を求める～

（１）矢を１回放つと，3/4の確率で的に当たる。２回矢を放つとき，２回とも的に当たる確率を求めよ。

3/4×3/4＝9/16

（２）３回矢を放つとき，的に２回当たって１回はずれる確率を求めよ。

的に当たる確率は3/4，はずれる確率は1/4。

反復試行の確率の公式より，
試行Ｔを独立にｎ回行うとき，事象Ａの起こる確率をp，起こらない確率をq＝１－pとすると，事象Ａがk回起こる確率は

反復試行の確率

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三角関数マトリクス

(7) A～Hのマスにsin,cos,tanのどれかを入れる

三角関数の値を整理する。

順番に解いていこう。

① 1行目

θが0で、0とならないのはcos0°

→　Ｃ：cos0°

②3行目

θが150、90、135のうち、0となるのはcos90°

　→　Ｇ：cos90°

③3列目

cos0°= 1との積が－となるので、ＥとＨの一方が＋、一方が－

　→　Ｅ，Ｈどちらか：sin135°

　2行目

D30°、sin45°との積が－となるので、Ｅ135°は－

　→　Ｈ：sin135°

④3列目

　→　Ｅ：cos135°

⑤2行目

　→　Ｄ：sin30°

⑥1列目

　1行目

　→　Ｂ：tan120°

　→　Ａ：tan150°

⑦1列目

⑥より、Ｆはcos150°

→　Ｆ：cos150°

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２次関数グラフ

(5) a>0,b>0のとき、y=ax^2+bxのグラフにおける、x軸との交点の座標

(6) y軸の作図

x座標の大きい方を点Ａとし、点Ａを中心とした円を描く。
x軸と円の交点を点Ｂ、点Ｃとする。

点Ｂ，点Ｃを中心とする同一半径の円弧を描き、交点を点Ｄとする。
直線ＡＤを引くと、y軸となる。

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